李群

李群指具有群结构的光滑微分流形，在物理上描述的是连续的对称性

例：
对于模为1的复数集合，其可以表示为$e^{i\theta}$，显然该集合对于乘法封闭，满足群的四个基本要求，所以说其具有群结构。
相对应的这个集合可以在复平面上绘制成一个圆，此时，圆上的任意一点，都可以用赋予其的值$\theta$表示其坐标，其等价于一个一维流形，且其上的乘法运算是光滑的，因此这个集合是一个李群

李代数：李群上的切空间。描述了李群的局部性质李代数由一个集合$V$，一个数域$F$ 和一个二元运算 $[,]$ 组成。如果它们满足以下几条性质，称 (V; F; [, ]) 为一个李代数，记作 g。

封闭性: $\forall \mathbf{X}, \mathbf{Y} \in V,[\mathbf{X}, \mathbf{Y}] \in V$
双线性: $\forall \mathbf{X}, \mathbf{Y}, \mathbf{Z} \in V, a, b \in F$ ，有$[a \mathbf{X}+b \mathbf{Y}, \mathbf{Z}]=a[\mathbf{X}, \mathbf{Z}]+[\mathbf{Y}, \mathbf{Z}],[\mathbf{Z}, a \mathbf{X}+b \mathbf{Y}]=a[\mathbf{Z}, \mathbf{X}]+b[\mathbf{Z}, \mathbf{Y}]$
自反性: $\forall \mathbf{X} \in V,[\mathbf{X}, \mathbf{X}]=\mathbf{0}$
雅可比等价: $\forall \mathbf{X}, \mathbf{Y}, \mathbf{Z} \in V,[\mathbf{X},[\mathbf{Y}, \mathbf{Z}]]+[\mathbf{Z},[\mathbf{X}, \mathbf{Y}]]+[\mathbf{Y},[\mathbf{Z}, \mathbf{X}]]=\mathbf{0}$

其中的二元运算称为李括号，他表示了两个元素之间的差异，在$R^3$空间中上定义的叉积就是一种李括号，此时$g=(R^3,R,\times)$构成了李代数

指数映射：将切空间上的切向量映射到流形上点的动作

对数映射：将流形上的点映射到切空间的切向量上

O(2)

SO(2)

SU(2)

对于单位四元数$a+bi+cj+dk$ 其左乘矩阵形式等价于$\left[\begin{array}{ccc}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & -b & -a\end{array}\right]$，右乘矩阵等价为$\left[\begin{array}{ccc}a & -b & -c & -d \\ b & a & d & -c \\ c & -d & a & b \\ d & c & -b & a\end{array}\right]$，以右乘矩阵为例，其每个子矩阵代表了一个复数，如果将其改写为复数矩阵，形式为$\left[\begin{array}{ccc}a+bi & -c+di\\ c + di & a-bi\end{array}\right]$此时，该矩阵为酉矩阵。且对于单位四元数，该矩阵的特征值为1。

$\operatorname{SU}(2)$群是一个矩阵群，群元素为$2\times2$的幺正矩阵，且行列式为1

SO(3)

对于旋转，它只有三个自由度，但是使用旋转矩阵就会有9个量，显然使用旋转矩阵表达旋转是冗余的，理论上可以用3个量来表示旋转.

$\operatorname{SO}(3)$ 群是一个常见的李群，若将$\operatorname{SO}(3)$群视为全体三维空间中，顺时针转动任意角度的集合，有：

$$\operatorname{SO}(3) \equiv \left\{\begin{array}{l|l} \mathcal{R}(\vec{\omega}) & \begin{array}{l} \vec{\omega}=\omega \vec{n}, \vec{n}=(\cos \varphi \sin \theta, \sin \varphi \sin \theta, \cos \theta) \\ \omega \in[0, \pi], \theta \in[0, \pi], \varphi \in[0,2 \pi] \end{array} \end{array}\right\}$$

在式$\vec{\omega}=\omega \vec{n}$中，$\vec{n}$是旋转轴，模长为1，$\omega$是绕$\vec{n}$旋转的角度。 $\mathcal{R}(\vec{\omega})$表示绕$\vec{\omega}$轴旋转$\omega$角度的操作。 因此，我们可以将$\operatorname{SO}(3)$群视作由$\vec{\omega}$端点构成的半径为$\pi$的实心球

从SO(3)群推导罗德里格斯公式

对于三维旋转群$\operatorname{SO}(3)$，其集合内元素满足

$$\det R=1$$ $$R^TR=I$$ 若考虑其为时间$t$的函数，则有$\mathbf{R}(t)^T\mathbf{R}(t)=\mathbf{I}$。对其求导，有 $$\dot{\mathbf{R}}(t) \mathbf{R}(t)^T+\mathbf{R}(t) \dot{\mathbf{R}}(t)^T=0$$ $$\dot{\mathbf{R}}(t) \mathbf{R}(t)^T=-\mathbf{R}(t) \dot{\mathbf{R}}(t)^T$$ 不难发现，$\mathbf{R}(t) \dot{\mathbf{R}}(t)^T$是一个反对称矩阵。因此，我们可以将其记作${\mathbf{A}}$，对于这个$3\times 3$反对称矩阵，其对角线元素为0，因此其只有三个自由度，可以将其对应于三维向量$\mathbf{a} = [a_1, a_2, a_3]^T$，因此对于矩阵A我们可以将其表示为： $$\mathbf{a}^{\wedge} = \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}$$ 其中$\mathbf{a}^{\wedge}$表示$\mathbf{a}$所对应的反对称矩阵。因此我们使用$\phi(t)^{\wedge}$对应$\dot{\mathbf{R}}(t) \mathbf{R}(t)^T$,即： $$\dot{\mathbf{R}}(t) \mathbf{R}(t)^T=\phi(t)^{\wedge}$$ 此时，$$\dot{\mathbf{R}}(t)=\phi(t)^{\wedge} \mathbf{R}(t)=\left[\begin{array}{ccc}0 & -\phi_3 & \phi_2 \\ \phi_3 & 0 & -\phi_1 \\ -\phi_2 & \phi_1 & 0\end{array}\right] \mathbf{R}(t)$$ 不难发现其对应于关于$\mathbf{R}$的微分方程： $$\mathbf{R}(t)=\exp \left(\phi(t)^{\wedge}\right) \mathbf{R}\left(t_0\right)$$

任意矩阵的指数映射可以使用泰勒展开进行近似，对于$\exp \left(\phi(t)^{\wedge}\right)$，我们可以使用泰勒展开进行近似： $$\exp \left(\phi(t)^{\wedge}\right)=\mathbf{I}+\phi(t)^{\wedge}+\frac{\left(\phi(t)^{\wedge}\right)^2}{2 !}+\frac{\left(\phi(t)^{\wedge}\right)^3}{3 !}+\cdots$$

对于三维向量$\phi$，可以使用,假设其模长为$\theta$,方向为$a$，即$\phi=\theta {a}$，因此$\phi^{\wedge}=\theta {a}^{\wedge}$。 且有两个性质： $$ \begin{aligned} & a^{\wedge} a^{\wedge}=a a^T-I \\ & a^{\wedge} a^{\wedge} a^{\wedge}=-a^{\wedge} \end{aligned} $$ 因此上式可展开为： $$ \begin{aligned} & \mathbf{R}=\exp \left(\phi^{\wedge}\right)=\exp \left(\theta a^{\wedge}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\left(\theta a^{\wedge}\right)^n \\ & =I+\theta a^{\wedge}+\frac{1}{2 !} \theta^2 a^{\wedge} a^{\wedge}+\frac{1}{3 !} \theta^3 a^{\wedge} a^{\wedge} a^{\wedge}+\frac{1}{4 !} \theta^4\left(a^{\wedge}\right)^4+\ldots \\ & =a a^T-a^{\wedge} a^{\wedge}+\theta a^{\wedge}+\frac{1}{2 !} \theta^2 a^{\wedge} a^{\wedge}-\frac{1}{3 !} \theta^3 a^{\wedge}-\frac{1}{4 !} \theta^3\left(a^{\wedge}\right)^2+\ldots \\ & =a a^T+\left(\theta-\frac{1}{3 !} \theta^3+\frac{1}{5 !} \theta^5-\ldots\right) a^{\wedge}-\left(1-\frac{1}{2 !} \theta^2+\frac{1}{4 !} \theta^4-\ldots\right) a^{\wedge} a^{\wedge} \\ & =a^{\wedge} a^{\wedge}+I \sin \theta a^{\wedge}-\cos \theta a^{\wedge} a^{\wedge} \\ & =(1-\cos \theta) a^{\wedge} a^{\wedge}+I+\sin \theta a^{\wedge} \\ & =\cos \theta I+(1-\cos \theta) a a^T+\sin \theta a^{\wedge} \end{aligned} $$

$\operatorname{SO}(3)$李代数：物理意义为旋转向量 $$ \mathfrak{so}(3)=\left\{\phi \in \mathbb{R}^3, \boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{\phi}^{\wedge} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\right\} . $$

四元数插值 Nlerp Slerp

$\operatorname{SU}(2)$

SE(3)

$\operatorname{SE(3)}$群是一个六维李群，它是三维旋转群$\operatorname{SO(3)}$和三维平移群$\mathbb{R}^3$的直积，即：

$$\begin{equation} \operatorname{SE(3)}= \left\{\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{R} & \mathbf{P} \\ \mathbf{0} & 1\end{array}\right]\mathbf{P} \in \mathbb{R}^3, \mathbf{R} \in \operatorname{SO(3)} \right\} \end{equation}$$

作为矩阵李群，$\operatorname{SE(3)}$代表一种齐次坐标变换，可以代表某种刚体运动的集合

对偶四元数插值： $$ \operatorname{DQLERP}\left(Q_0, Q_1, t\right):=\frac{Q_0+t\left(Q_1-Q_0\right)}{\left||Q_0+t\left(Q_1-Q_0\right)|\right|} $$ $\operatorname{ScLERP}$插值，SE(3)中Q0到Q1的测地线

李群的旋转插值