FEM
fem概览
流程
1.获得微分方程
2.定义边界或者约束条件
3.将微分形式的控制方程转换为其等效积分
4.对计算单元刚度矩阵
5.单元刚度矩阵的组装
6.矩阵求解
等效变换
控制方程（微分形式）-> 等效积分 -> 等效积分的弱形式
变分形式推导
加权余量
给定微分方程 $$A(u) = 0$$ $$B(u) = 0$$
能量泛函推导： $$A(u) = L(u) + f$$ $$\int_{\Omega}(L(u) + f)\delta u \ d\Omega = 0$$
$$ \begin{equation*}
\begin{split}
\int_{\Omega}L(u)\delta u \ d\Omega
& = \int_{\Omega}\frac{1}{2}L(u)\delta u \ d\Omega + \int_{\Omega}\frac{1}{2}L(u)\delta u \ d\Omega \\
& = \int_{\Omega}\frac{1}{2}L(u)\delta u \ d\Omega + \int_{\Omega}\frac{1}{2}L(\delta u)u \ d\Omega \\
& = \delta\int_{\Omega}\frac{1}{2}L(u)u \ d\Omega
\end{split}
\end{equation*} $$
其中A和B都是算子符号,$A(u)$为控制方程，$B(u)$为边界条件
其等效积分形式为
$$\int wA(u)d\Omega + \int wB(u)d\tau = 0$$
当通过形函数进行近似时
$$\tilde{u} = \sum N_iu_i$$
$$A(\tilde{u}) = R$$
Example:
伽辽金法
用单元的形函数来代表等效积分中的权函数$w$使得残差尽可能小 $$\int N A(\tilde{u})d\Omega + \int NB(\tilde{u})d\tau = 0$$
其他方法
子域法，配点法，最小二乘法，力矩法
边界条件
对一个2m阶的微分方程，0到m-1阶为强制边界条件，m到2m-1为自然边界条件
强制边界条件（本质边界条件）：强加给控制方程必须满足的
自然边界条件：泛函一阶变分为零，在边界上必须满足的条件（一般在积分表达式中可以自动得到满足）
混合边界条件
Dirchlet边界条件
常微分条件下
在区间$\left [ a,b \right ]$,满足$y(a) = \alpha, y(b) = \beta$,其中$\alpha,\beta$为常数
偏微分条件下
$y(x) = f(x), \forall x \in \partial \Omega$,其中 $f$ 是在边界 $\partial \Omega$ 中定义的已知函数
Example：
机械：梁的一端保持在空间中的固定位置
热力学中：表面保持在固定温度
流体力学：粘性流体的固液边界处，流体相对于边界具有零速度
Neumman边界条件
代求变量边界外法线的方向导数被指定
常微分条件下
在区间$\left [ a,b \right ]$,满足$y’(a) = \alpha, y’(b) = \beta$,其中$\alpha,\beta$为常数
偏微分条件下
Example：
热力学：热传导方程中边界绝热，内部热量无法通过边界传导到外部
Robin边界条件
施加约束
罚函数
P（比例）控制器
PD（比例微分）控制器
PID（比例积分微分）控制器
拉格朗日乘子法
函数内积
$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$记作$\left \langle f,g \right \rangle$称为函数内积
若$\left \langle f,g \right \rangle$在$\left [ a,b \right ]$上等于0，说明$\left \langle f,g \right \rangle$在$\left [ a,b \right ]$上正交
单元刚度矩阵的推导
偏微分法
变分法
静态分析中平衡方程求解
直接求解
迭代求解
Gauss-Seidel方法
非线性方程组求解
Newton-Raphson方法
BFGS法
载荷-位移-约束方法
动态分析中平衡方程求解
直接积分
中心差法
Houbolt法
Newmark法
Bathe法
模态叠加
与FVM，FDM的差别
对于FVM其权函数$w$为1
线性动态有限元
由于引入了时间坐标，因此问题变为二维$(x, t)$问题，采用部分离散的方法，即只将空间域进行离散